Ratsional funktsiya - bu y = N (x)/D (x) shaklini olgan tenglama, bu erda N va D polinomlar. Aniq grafikni qo'l bilan chizishga urinish, matematikaning asosiy algebradan tortib to differentsial hisoblashgacha bo'lgan eng muhim mavzularini har tomonlama ko'rib chiqish bo'lishi mumkin. Quyidagi misolni ko'rib chiqing: y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2).
Qadamlar
Qadam 1. y kesimini toping
X = 0 ni belgilang. Doimiy shartlardan boshqa hamma narsa yo'q bo'lib, y = 5/2 ni qoldiradi. Buni koordinata juftligi sifatida ifodalab, (0, 5/2) - grafikdagi nuqta. Bu nuqtani grafika qiling.
Qadam 2. Gorizontal asimptotani toping
X ning katta mutlaq qiymatlari uchun y ning xatti -harakatini aniqlash uchun maxrajni hisoblagichga bo'ling. Bu misolda bo'linish y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4) ekanligini ko'rsatadi. X ning katta ijobiy yoki salbiy qiymatlari uchun 17/(8 x + 4) nolga yaqinlashadi va grafik y = (1/2) x - (7/4) chizig'iga yaqinlashadi. Kesilgan yoki engil chizilgan chiziqdan foydalanib, bu chiziqni chizish.
- Agar hisoblagich darajasi maxraj darajasidan past bo'lsa, bajariladigan bo'linish yo'q va asimptot y = 0 ga teng.
- Agar deg (N) = deg (D) bo'lsa, asimptota etakchi koeffitsientlar nisbatida gorizontal chiziq bo'ladi.
- Agar deg (N) = deg (D) + 1 bo'lsa, asimptot - bu chiziq, uning qiyaligi etakchi koeffitsientlarning nisbati.
- Agar deg (N)> deg (D) + 1 bo'lsa, u holda | ning katta qiymatlari uchun x |, y tezda kvadratik, kubik yoki undan yuqori darajali polinom sifatida ijobiy yoki salbiy cheksizlikka o'tadi. Bunday holda, bo'linish qismlarini to'g'ri chizish kerak emas.
3 -qadam. Nollarni toping
Ratsional funktsiya nolga teng bo'lsa, N (x) = 0 ni o'rnating. Masalan, 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Bu kvadratikani diskriminanti b 2 - 4 ac = 62 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. Diskriminant manfiy bo'lgani uchun N (x) va natijada f (x) ning haqiqiy ildizlari yo'q. Grafik hech qachon x -o'qini kesib o'tmaydi. Agar nol topilgan bo'lsa, bu nuqtalarni grafikga qo'shing.
Qadam 4. Vertikal asimptotalarni toping
Vertikal asimptot maxraj nol bo'lganda paydo bo'ladi. 4 x + 2 = 0 ni sozlash vertikal chiziqni x = -1/2 beradi. Har bir vertikal asimptotani engil yoki kesilgan chiziq bilan chizish. Agar x ning ba'zi qiymati N (x) = 0 va D (x) = 0 ni tashkil qilsa, u erda vertikal asimptot bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Bu kamdan -kam uchraydi, lekin agar u paydo bo'lsa, u bilan qanday kurashish bo'yicha maslahatlarga qarang.
5 -qadam. 2 -bosqichda bo'linishning qolgan qismiga qarang
Qachon ijobiy, salbiy yoki nol bo'ladi? Misolda qolganlarning hisoblagichi 17 ga teng, bu har doim ijobiy. 4 x + 2 denominatori vertikal asimptotaning o'ng tomonida musbat, chapda manfiy. Bu shuni anglatadiki, grafika x ning katta ijobiy qiymatlari uchun yuqoridagi chiziqli asimptotaga yaqinlashadi va x ning katta salbiy qiymatlari uchun pastdan. 17/(8 x + 4) hech qachon nol bo'lolmagani uchun, bu grafik hech qachon y = (1/2) x - (7/4) chizig'ini kesib o'tmaydi. Hozircha grafikaga hech narsa qo'shmang, lekin keyinroq bu xulosalarga e'tibor bering.
Qadam 6. Mahalliy ekstremalni toping
N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0 bo'lganda mahalliy ekstremum paydo bo'lishi mumkin. Masalan, N '(x) = 4 x - 6 va D' (x) = 4 N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - [2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. Kengaytirish, atamalarni birlashtirish va 4 bargga bo'lish x 2 + x - 4 = 0. Kvadrat formulada x = 3/2 va x = -5/2 yaqinidagi ildizlar ko'rsatilgan. (Bu aniq qiymatlardan taxminan 0,06 ga farq qiladi, lekin bizning grafigimiz bu darajadagi tafsilotlar haqida qayg'uradigan darajada aniq bo'lmaydi. Yaxshi ratsional yaqinlikni tanlash keyingi qadamni osonlashtiradi.)
7 -qadam. Har bir mahalliy ekstremumning y -qiymatlarini toping
Tegishli y qiymatlarini topish uchun oldingi qadamdagi x -qiymatlarni asl ratsional funktsiyaga qaytaring. Misolda f (3/2) = 1/16 va f (-5/2) = -65/16. (3/2, 1/16) va (-5/2, -65/16) nuqtalarni grafikga qo'shing. Biz oldingi qadamda taxmin qilganimiz uchun, bu aniq minimal va maksimal emas, balki yaqin bo'lishi mumkin. (Bilamiz (3/2, 1/16) mahalliy minimal darajaga juda yaqin. 3 -qadamdan bilamizki, y> x> -1/2 bo'lganda har doim ijobiy bo'ladi va biz 1/16 ga teng bo'lmagan qiymatni topdik, shuning uchun hech bo'lmaganda bu holatda xato chiziq qalinligidan kam bo'lishi mumkin.)
8 -qadam. Nuqtalarni bir -biriga ulang va grafikni ma'lum nuqtalardan to'g'ri yo'nalishga yaqinlashishga harakat qilib, asimptotalarga tekis uzating
3 -bosqichda topilgan nuqtalar bundan mustasno, x -o'qini kesib o'tmaslikka ehtiyot bo'ling. 5 -bosqichda topilgan nuqtalardan tashqari, gorizontal yoki chiziqli asimptotni kesib o'tmang. oldingi bosqichda topilgan ekstremal.
Video - bu xizmatdan foydalanib, ba'zi ma'lumotlar YouTube bilan bo'lishishi mumkin
Maslahatlar
- Ushbu bosqichlarning ba'zilari yuqori darajali polinomni echishni o'z ichiga olishi mumkin. Agar siz faktorizatsiya, formulalar yoki boshqa usullar yordamida aniq echim topa olmasangiz, Nyuton usuli kabi sonli metodlar yordamida echimlarni baholang.
- Agar siz bosqichlarni ketma -ketlikda bajarsangiz, kritik qiymatlar mahalliy maxima, mahalliy minimami yoki yo'qligini aniqlash uchun odatda ikkinchi lotin testlarini yoki shunga o'xshash potentsial murakkab usullarni ishlatishning hojati yo'q. Avvalgi qadamlardagi ma'lumotlardan va avval biroz mantiqdan foydalanishga harakat qiling.
- Agar siz buni faqat hisob -kitob usullari yordamida qilmoqchi bo'lsangiz, har bir assimptot jufti o'rtasida bir nechta qo'shimcha (x, y) tartibli juftlarni hisoblab, mahalliy ekstremalni topish bosqichlarini almashtirishingiz mumkin. Shu bilan bir qatorda, agar siz nima uchun ishlashiga ahamiyat bermasangiz, oldindan hisoblangan talaba polinomning lotinini olib, N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = ni hal qila olmasligiga hech qanday sabab yo'q. 0.
-
Kamdan kam hollarda, hisoblagich va denominator umumiy doimiy bo'lmagan omilga ega bo'lishi mumkin. Agar siz qadamlarni bajarayotgan bo'lsangiz, bu xuddi shu joyda nol va vertikal asimptot sifatida namoyon bo'ladi. Bu imkonsiz va aslida nima sodir bo'layotgani quyidagilardan biri:
- N (x) dagi nol D (x) dagi nolga qaraganda yuqori ko'plikka ega. Bu vaqtda f (x) grafigi nolga yaqinlashadi, lekin u erda aniqlanmagan. Buni nuqta atrofida ochiq aylana bilan ko'rsating.
- N (x) dagi nol va D (x) dagi nol teng ko'plikka ega. Grafika x ning bu qiymati uchun nol bo'lmagan nuqtaga yaqinlashadi, lekin u erda aniqlanmagan. Buni yana ochiq doira bilan ko'rsating.
- N (x) dagi nol D (x) dagi nolga qaraganda past ko'plikka ega. Bu erda vertikal asimptot mavjud.
