Apolloniy qistirmalari-bu bitta katta doira ichida doimiy ravishda kichrayib borayotgan doiralar to'plamidan hosil bo'lgan fraktal tasvir turi. Apollon qistirmasidagi har bir doira qo'shni doiralarga tegib turadi - boshqacha aytganda, apollon qistirmasidagi doiralar cheksiz kichik nuqtalarda aloqa o'rnatadi. Pergalik yunon matematikasi Apolloniy nomi bilan atalgan fraktalning bu turini (qo'lda yoki kompyuterda) oqilona murakkablik bilan chizish mumkin, bunda chiroyli va ajoyib tasvir hosil bo'ladi. Ishni boshlash uchun quyidagi 1 -qadamga qarang.
Qadamlar
2dan 1 -qism: Asosiy tushunchalarni tushunish
Aniq bo'lish uchun, agar siz shunchaki Apollon qistirmasini chizmoqchi bo'lsangiz, fraktalning matematik tamoyillarini o'rganish muhim emas. Ammo, agar siz Apollon qistirmalari haqida chuqurroq ma'lumotga ega bo'lishni istasangiz, ularni muhokama qilishda foydalanadigan bir nechta tushunchalarning ta'rifini tushunish muhimdir.
Qadam 1. Asosiy atamalarni aniqlang
Quyidagi ko'rsatmalarda quyidagi atamalar qo'llaniladi:
- Apolloniy qistirmasi: bitta katta aylana ichiga joylashtirilgan va yaqin atrofdagilarga tegib turadigan bir qator doiralardan tashkil topgan fraktal turining bir nechta nomlaridan biri. Ularni "Soddi doiralar" yoki "O'pish doiralari" deb ham atashadi.
- Doira radiusi: aylananing markaziy nuqtasidan uning chetigacha bo'lgan masofa. Odatda r o'zgaruvchiga tayinlanadi.
- Doira egriligi: radiusning ijobiy yoki salbiy teskari tomoni yoki ± 1/r. Egrilik aylananing tashqi egriligi bilan ijobiy, ichki egilish uchun esa manfiy bo'ladi.
- Tangens: cheksiz kichik nuqtada kesishgan chiziqlar, tekisliklar va shakllar uchun qo'llaniladigan atama. Apolloniy qistirmalarda, bu har bir doira yaqin atrofdagi har bir aylanaga faqat bir nuqtada tegishini bildiradi. E'tibor bering, kesishma yo'q - teginish shakllari bir -biriga to'g'ri kelmaydi.
2 -qadam. Dekart teoremasini tushuning
Dekart teoremasi - bu apollon qistirmasidagi doiralarning o'lchamlarini hisoblashda foydali bo'lgan formula. Agar biz har qanday uchta aylananing egriliklarini (1/r) mos ravishda a, b va c deb aniqlasak, teoremada aytilishicha, aylananing (yoki aylanalarning) uchalasiga teginish egri, biz ularni d deb belgilaymiz.: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
Maqsadimiz uchun, biz odatda olingan javobni faqat kvadrat ildiz oldiga ortiqcha belgini qo'yish orqali ishlatamiz (boshqacha aytganda, … + 2 (sqrt (…)). Hozircha, ayirishni bilish kifoya. Tenglama shakli boshqa vazifalarda ham qo'llaniladi
2 -qismning 2 -qismi: Apollon qistirmasini qurish
Apolloniy qistirmalari qisqaruvchi doiralarning chiroyli fraktal tuzilmalari shaklini oladi. Matematik nuqtai nazardan, Apollon qistirmalari cheksiz murakkablikka ega, lekin siz kompyuter chizish dasturidan yoki an'anaviy rasm chizish vositalaridan foydalanasizmi, oxir -oqibat kichikroq doiralarni chizish mumkin bo'lmagan darajaga yetasiz. E'tibor bering, siz doiralaringizni qanchalik aniq chizsangiz, shuncha ko'p qistirmangizga joylasha olasiz.
Qadam 1. Raqamli yoki analog chizish vositalarini yig'ing
Quyidagi bosqichlarda biz o'z qo'llarimiz bilan oddiy Apollon qistirmalarini tayyorlaymiz. Apollon qistirmalarini qo'lda yoki kompyuterda chizish mumkin. Qanday bo'lmasin, siz mukammal dumaloq doiralarni chizishni xohlaysiz. Bu juda muhim. Apolloniy qistirmadagi har bir doira yonidagi doiralarga juda yaxshi tegib turgani uchun, hatto bir oz notekis shakllangan doiralar ham sizning oxirgi mahsulotingizni "tashlab yuborishi" mumkin.
- Agar siz kompyuterda qistirmalarni chizayotgan bo'lsangiz, sizga markaziy nuqtadan sobit radiusli doiralarni osongina chizish imkonini beradigan dastur kerak bo'ladi. GIF, tasvirlarni tahrirlash bepul GIMP dasturi uchun vektorli chizmalar kengaytmasi va boshqa rasm chizish dasturlaridan foydalanish mumkin (tegishli havolalar uchun materiallar bo'limiga qarang). Ehtimol, sizga kalkulyator ilovasi, yoki matnli protsessor hujjati yoki egri chiziqlar va radiuslar bo'yicha yozuvlarni yozish uchun jismoniy bloknot kerak bo'ladi.
- Qopqoqni qo'l bilan chizish uchun sizga kalkulyator (ilmiy yoki grafik taklif qilingan), qalam, kompas, o'lchagich (tercihen millimetrli tarozi, grafik qog'oz va eslatma olish uchun bloknot) kerak bo'ladi.
Qadam 2. Bitta katta doiradan boshlang
Sizning birinchi vazifangiz oson - bitta katta, mukammal dumaloq doira chizish. Doira qanchalik katta bo'lsa, sizning qistirmangiz shunchalik murakkab bo'lishi mumkin, shuning uchun qog'oz chizilgan o'lchamdagi yoki chizish dasturining bitta oynasida ko'rishingiz mumkin bo'lgan katta doirani yasashga harakat qiling.
Qadam 3. Asl ichida bir tomonga tegib, kichikroq doira yarating
Keyin, birinchisiga asl nusxadan kichikroq, lekin juda katta bo'lgan boshqa doirani chizib qo'ying. Ikkinchi doiraning aniq o'lchami sizga bog'liq - to'g'ri o'lcham yo'q. Biroq, bizning maqsadimiz uchun, ikkinchi doiramizni chizamiz, u bizning katta tashqi doiramizning yarmigacha etib boradi. Boshqacha aytganda, ikkinchi aylanamizni chizamizki, uning markaziy nuqtasi katta doira radiusining o'rta nuqtasidir.
Esda tutingki, Apollon qistirmalarida tegib turgan barcha doiralar bir -biriga tegib turadi. Agar siz kompas yordamida aylanalaringizni qo'l bilan chizmoqchi bo'lsangiz, qalamni katta aylananing chetiga tegib turadigan qilib to'g'rilab, kompasning o'tkir uchini katta tashqi doira radiusining o'rtasiga qo'ying. keyin o'zingizning kichikroq doirangizni chizasiz
4 -qadam. Kichikroq ichki doiraning "qarshisida" bir xil aylana chizish
Keling, birinchisiga qarama -qarshi boshqa aylana chizamiz. Bu doira katta tashqi doiraga ham, kichikroq ichki doiraga ham tegib turishi kerak, bu sizning ikkita ichki doirangiz katta tashqi aylananing o'rtasiga to'g'ri keladi.
5 -qadam. Keyingi doiralaringiz hajmini topish uchun Dekart teoremasini qo'llang
Bir lahzaga rasm chizishni to'xtataylik. Endi bizning qistirmamizda uchta aylana bor, biz chizadigan keyingi aylananing radiusini Dekart teoremasi yordamida topishimiz mumkin. Dekart teoremasi ekanligini unutmang d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), bu erda a, b va c - sizning uchta tegingan doiralaringiz egriligi va d - uchalasiga tegib turgan aylananing egriligi. Shunday qilib, keyingi aylanamizning radiusini topish uchun, keling, bizda mavjud bo'lgan har bir aylananing egriligini topaylik, shunda biz keyingi aylananing egriligini topamiz, keyin uni radiusiga aylantiramiz.
-
Keling, tashqi doiramiz radiusini quyidagicha aniqlaylik
1 -qadam.. Boshqa doiralar shu doirada bo'lgani uchun, biz uning ichki egriligi bilan shug'ullanamiz (tashqi egriligidan ko'ra) va shuning uchun uning egriligi manfiy ekanligini bilamiz. -1/r = -1/1 = -1. Katta doiraning egriligi - 1.
-
Kichik doiralarning radiusi katta aylananing yarmiga teng, yoki boshqacha aytganda 1/2 ga teng. Bu doiralar bir -biriga va katta aylanaga tashqi chetlari tegib turganligi uchun biz ularning tashqi egriligi bilan shug'ullanamiz, shuning uchun ularning egriliklari ijobiy bo'ladi. 1/(1/2) = 2. Kichikroq doiralarning egriligi ikkalasi ham
2 -qadam..
-
Endi bilamizki, a = -1, b = 2 va c = 2 bizning Dekart teoremasi tenglamasi uchun. Keling, d uchun hal qilaylik:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (kvadrat (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (kvadrat (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Keyingi aylanamizning egriligi
3 -qadam.. 3 = 1/r bo'lgani uchun, keyingi doiramizning radiusi 1/3.
Qadam 6. Keyingi doiralar to'plamini yarating
Keyingi ikkita doirani chizish uchun topilgan radius qiymatidan foydalaning. Esda tutingki, ular Dekart teoremasida a, b va c uchun egriliklari ishlatilgan doiralarga tegishlidir. Boshqacha qilib aytganda, ular asl va ikkinchi doiralarga tegib turadi. Bu doiralar uchta doiraga tegib turishi uchun siz ularni katta doirangizning yuqori va pastki qismidagi ochiq joylarga chizishingiz kerak bo'ladi.
Bu doiralarning radiusi 1/3 ga teng bo'lishini unutmang. Tashqi aylananing chetidan 1/3 orqaga o'lchang, so'ngra yangi doirangizni chizib oling. U atrofdagi uchta doiraga tegib turishi kerak
Qadam 7. Davralarni qo'shishni davom ettirishda davom eting
Ular fraktal bo'lgani uchun Apollon qistirmalari cheksiz murakkab. Bu shuni anglatadiki, siz yurak tarkibiga kichikroq va kichikroq doiralarni qo'shishingiz mumkin. Siz faqat asboblaringizning aniqligi bilan cheklanasiz (yoki agar siz kompyuterdan foydalansangiz, chizish dasturining "kattalashtirish" qobiliyati). Har bir doira, qanchalik kichik bo'lmasin, boshqa uchta doiraga tegib turishi kerak. O'zingizning qistirmangizdagi har bir keyingi doirani chizish uchun, Descartes teoremasiga tegib turgan uchta aylananing egriligini ulang. So'ngra, yangi doirangizni to'g'ri chizish uchun javobingizdan foydalaning (bu sizning yangi doirangiz radiusi bo'ladi).
- E'tibor bering, biz chizishni tanlagan qistirma nosimmetrikdir, shuning uchun bitta aylananing radiusi "uning qarshisidagi" mos keladigan aylana bilan bir xil bo'ladi. Bilingki, har bir Apolloniy qistirmasi nosimmetrik emas.
-
Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Aytaylik, oxirgi doiralarimizni chizganimizdan so'ng, endi biz uchinchi, ikkinchi to'plamimiz va katta tashqi doiramizga tegib turgan doiralarni chizmoqchimiz. Bu doiralarning egriligi mos ravishda 3, 2 va -1 ga teng. Keling, bu raqamlarni a = -1, b = 2 va c = 3 ni o'rnatgan holda Dekart teoremasiga qo'shamiz:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (kvadrat (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (kvadrat (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (kvadrat (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Bizda ikkita javob bor! Ammo, chunki biz bilamizki, bizning yangi aylanamiz teginilgan doiralardan kichikroq bo'ladi, faqat egri chiziq
6 -qadam. (va shuning uchun radiusi) 1/6) manoga ega.
- Bizning boshqa javobimiz, 2, aslida bizning ikkinchi va uchinchi doiralarimiz teginish nuqtasining narigi tomonidagi faraziy doirani bildiradi. Bu doira hisoblanadi bu ikkala doiraga ham, katta tashqi doiraga ham tegib turadi, lekin u biz chizgan doiralarni kesib o'tadi, shuning uchun biz buni e'tiborsiz qoldiramiz.
8-qadam. Qiyinchilik uchun, ikkinchi doirangiz hajmini o'zgartirib, nosimmetrik Apollon qistirmasini yasab ko'ring
Barcha Apollon qistirmalari xuddi shu tarzda boshlanadi - fraktalning chekkasi vazifasini bajaradigan katta tashqi aylana bilan. Biroq, sizning ikkinchi doirangiz, albatta, birinchi radiusning 1/2 qismiga ega bo'lishi uchun hech qanday sabab yo'q - biz buni yuqorida tanladik, chunki bu oddiy va tushunish oson. O'yin -kulgi uchun, har xil o'lchamdagi ikkinchi doiradagi yangi qistirmalarni ishga tushirishga harakat qiling - bu kashfiyotning qiziqarli yangi yo'llariga olib keladi.
